Teori Bilangan

1. a.) Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n
Contoh :
134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

b.) Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5
Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c.) Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3
Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d.) Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9
Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e.) Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11
Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.
Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

2.) Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima
Berlaku sebaliknya.
Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

3.) Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.
Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa
Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)
----> ga penting

4.) Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.
Maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.
contoh: 81 dibagi 4 sisa 1, 100 bisa dibagi 4, 121 dibagi 4 sisa 1. Jadi kalo ada bilangan yang jika dibagi 4 sisanya bukan 1 atau 0, maka bilangan tsb bukan bilangan kuadrat

5.) Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9 (mungkin aja keluar di seri angka)

6.) Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

7.) Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.
Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1

Trik Mencari Akar Kuadrat Suatu Bilangan

dalam tes potensi akademik kadang kita dihadapkan pada soal yang menuntut untuk mencari akar kuadrat suatu nilai. dan tak jarang pula bilangan yang dimaksud tersebut nilainya besar, ribuan atau mungkin puluhan ribu. buat bilangan yang belum kita kenali, bagi orang awam, sekilas akan membutuhkan waktu yang lama. tapi buat yang udah tau polanya, cuma dibutuhkan waktu beberapa detik buat mencarinya.

perhatikan hasil pengkuadratan bilangan berikut
1=1
2=4
3=9
4=16
5=25
6=36
7=49
8=64
9=81

bila kita tulis digit belakangnya saja maka hasilnya
1=1
2=4
3=9
4=6
5=5
6=6
7=9
8=4
9=1

jadi dapat disimpulkan, bilangan yang digit belakangnya 1 bila dikuadratkan maka hasilnya akan mempunyai digit paling belakang 1, bilangan yang digit belakangnya 2 bila dikuadratkan maka hasilnya akan mempunyai digit paling belakang 4, bilangan yang digit belakangnya 3 bila dikuadratkan maka hasilnya akan mempunyai digit paling belakang 9, dan seterusnya

bila kita berpikir terbalik, maka akar kuadrat dari bilangan yang digit paling belakangnya 1, maka hasilnya akan mempunyai digit terakhir 1 atau 9
akar kuadrat dari bilangan yang digit paling belakangnya 4, maka hasilnya akan mempunyai digit terakhir 2 atau 8
akar kuadrat dari bilangan yang digit paling belakangnya 9, maka hasilnya akan mempunyai digit terakhir 3 atau 7
akar kuadrat dari bilangan yang digit paling belakangnya 6, maka hasilnya akan mempunyai digit terakhir 4 atau 6
akar kuadrat dari bilangan yang digit paling belakangnya 5, maka hasilnya akan mempunyai digit pasti 5

1 -> 1 atau 9
4 -> 2 atau 8
9 -> 3 atau 7
6 -> 4 atau 6
5 -> 5

kemudian yang perlu kita hafalkan adalah
10 = 100
20 = 400
30 = 900
40 = 1600
50 = 2500
60 = 3600
70 = 4900
80 = 6400
90 = 8100

contoh 1:
berapa akar kuadrat dari 1521?

* 1521 berada dalam bilangan antara 30 kuadrat dan 40 kuadrat (berada antara 900 - 1600)
* digit paling belakang 1 jadi kemungkinan kalo ga 31 ya 39
* perhatikan apakah 1521 itu lebih mendekati 900 atau 1600
* tanpa menghitung kita sudah dapat menentukan kalo akar kuadrat dari 1521 adalah 39
* lakukan tes ( 39 x 39 )

contoh 2:
berapa akar kuadrat dari 7396?
* 7396 berada dalam bilangan antara 80 kuadrat dan 90 kuadrat (berada antara 6400 - 8100)
* digit paling belakang 6 jadi kemungkinan kalo ga 84 ya 86
* karena bilangan tersebut berdekatan, jadi lakukan tes uji pada kedua bilangan (84 x 84 dan 86 x 86)

contoh 3:
berapa akar kuadrat dari 4225?
* 4225 berada di antara 60 kuadrat dan 70 kuadrat
* jadi jawabannya 65

bila sudah terbiasa, maka kamu ga perlu coret2tan sama sekali buat mengerjakannya, cukup dibayangkan sekejab saja, maka soal yang sebelumnya terlihat rumit menjadi gampang dikerjakan :)